Question

已知函數(shù)，，

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑶記函數(shù)，證明：存在一條過原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．

（2）

（3）在第二問的基礎(chǔ)上，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義來證明。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081112502922206442/SYS201308111251100348267000_DA.files/image007.png">，

①若，則，在上為增函數(shù)，2分 ②若，令，得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以為單調(diào)減區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間． 綜上可得，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．  4分

（2）時(shí)，，

，  5分

在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，即在上有且只有一個(gè)根且不為重根，

由得，

（i），，滿足題意；…… 6分

（ii）時(shí)，，即；… 7分

（iii）時(shí)，，得，故； 綜上得：在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，． ………8分注：本題也可分離變量求得．

（3）證明：由（1）可知：

（i）若，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，

所以直線與 的圖象不可能有兩個(gè)切點(diǎn)，不合題意． 9分

（ⅱ）若，在處取得極值．

若，時(shí)，由圖象知不可能有兩個(gè)切點(diǎn)．10分

故，設(shè)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（不妨設(shè)），

則直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)即為直線與和的切點(diǎn)．，，

設(shè)切點(diǎn)分別為，則，且

，，，

即   ① ,    ② ,   ③ ,

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，即，12分

令，則，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081112502922206442/SYS201308111251100348267000_DA.files/image065.png">，，故存在，使得，

即存在一條過原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，屬于難度題。