Question

已知拋物線C₁：y=x²，橢圓C₂：x²+

y2

4

=1．
（1）設(shè)l₁，l₂是C₁的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)l₁∩l₂=M，證明：點M的縱坐標為定值；
（2）在C₁上是否存在點P，使得C₁在點P處切線與C₂相交于兩點A、B，且AB的中垂線恰為C₁的切線？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)，設(shè)切點分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²），求出直線l₁，l₂的方程，根據(jù)l₁⊥l₂可得結(jié)果；
（2）設(shè)P（x₀，x₀²），寫出C₁在點P處切線方程，聯(lián)立它與橢圓的方程，消去y，得到關(guān)于x一元二次方程，△＞0，利用韋達定理和（1）的結(jié)論即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）y′=2x，
設(shè)切點分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁² ①
l₂方程為y=2x₂x-x₂² ②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，
即點M的縱坐標為定值-

1

4

．
（2）設(shè)P（x₀，x₀²），
則C₁在點P處切線方程為：y=2x₀x-x₀²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2x₀x-x₀²）-4=0
即（4+4x₀²）x²-4x₀³x+x₀⁴-4=0
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則x3+x4=

x 3 0

1+ x 2 0

，x3•x4=

x 4 0 -4

4+4 x 2 0

△=16x₀⁶-16（1+x₀²）（x₀⁴-4）=16（4+4x₀²-x₀⁴）＞0   ③
由（1）知yM=-

1

4

從而

y3+y4

2

=-

1

4

，
即x0(x3+x4)-

x

2 0

=--

1

4

進而得

x 4 0

1+ x 2 0

-

x

2 0

=-

1

4

解得

x

2 0

=

1

3

，且滿足③
所以這樣點P存在，其坐標為(±

3

3

，

1

3

)．

點評：此題是個難題．本題考查了橢圓與拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，