Question

19．已知F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P是該雙曲線上的任意一點，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，則r的取值范圍是（　�。�

• A． （0，a）
• B． （0，b）
• C． （0，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）
• D． （0，$\sqrt{ab}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|HF₁|-|HF₂|=2a，從而求得點H的橫坐標，即可求出△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

解答 解：如圖所示：F₁（-c，0）、F₂（c，0），
設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點是點H，P在雙曲線的右支上
PF₁、PF₂與內(nèi)切圓的切點分別為M、N，
∵由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由圓的切線長定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心I橫坐標為x，內(nèi)切圓半徑r，則點H的橫坐標為x，
故 （x+c）-（c-x）=2a，∴x=a，
設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，
一條漸近線的傾斜角為2α，則tan2α=$\frac{a}$，
由PF₁的斜率小于漸近線的斜率，
∴$\frac{2•\frac{r}{c+a}}{1-\frac{{r}^{2}}{（c+a）^{2}}}$＜$\frac{a}$，
故2rca+2ra²＜b（c+a）²-br²，
∴r（c+a）²-rb²＜b（c+a）²-br²，
∴（r-b）[br+（a+c）²]＜0，
∴0＜r＜b．
故選B．

點評 本題考查雙曲線的定義、切線長定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，正確運用雙曲線的定義是關(guān)鍵．