Question

14．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+2=3a_n+1-2a_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，則$\frac{lg_{n+2}-lg_{n+1}}{lg_{n+1}-lg_{n}}$=1．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=3，且a_n+2=3a_n+1-2a_n，a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），即b_n+1=2b_n，b₁=2．利用等比數(shù)列的通項公式可得b_n，進(jìn)而得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，且a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），即b_n+1=2b_n，b₁=2．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為2．
∴b_n=2ⁿ．
則$\frac{lg_{n+2}-lg_{n+1}}{lg_{n+1}-lg_{n}}$=$\frac{lg\frac{_{n+2}}{_{n+1}}}{lg\frac{_{n+1}}{_{n}}}$=$\frac{lg2}{lg2}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式、對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．