Question

【題目】設(shè)直線與直線分別與橢圓交于點(diǎn)，且四邊形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是否存在經(jīng)過原點(diǎn)，且以為直徑的圓？若有，請(qǐng)求出圓的方程，若沒有，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，圓的方程為.

【解析】

（1）根據(jù)兩條直線解析式特征可知直線與直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，則為矩形，將與橢圓方程聯(lián)立，表示出交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，即可由四邊形的面積確定參數(shù)，求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程，兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).聯(lián)立橢圓方程后化簡(jiǎn)，用韋達(dá)定理表示出，經(jīng)過原點(diǎn)，且以為直徑的圓滿足，即，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入即可求得斜率.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）由題意可知直線與直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以四邊形為矩形，

則，解得

所以，

解得，

代入橢圓方程可得.

（2）存在.

設(shè)，由題意可知直線的斜率必然存在.

直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，

則，化簡(jiǎn)可得，

所以，

經(jīng)過原點(diǎn)，且以為直徑的圓滿足，即，

則

，

解方程可得，經(jīng)檢驗(yàn)可知都滿足.

設(shè)線段的中點(diǎn)為.

則

所以，

所以存在滿足條件的圓，圓的方程為.