Question

已知橢圓的焦距為2c，左準線為l，長軸頂點為、，過橢圓上任意縱坐標非零的點P作直線與分別交l于M、N兩點

(1)試問在線段(O為原點)上是否能找到一點Q，使得對于上述的點P，恒為直角，若能，求出點Q的坐標；若不能說明理由；

(2)如圖，設直線NR與橢圓交于點B，與y軸交于點C，當直線PN的斜率為時，點B恰為線段RC的中點，求此橢圓的離心率．

Answer 1

答案：
解析：

(2) (1)當點P運動到特殊位置(0，b)時，直線的方程為bx＋ay＝ab，求得，同法求得，，設，，， 由解得，推測：橢圓的左焦點F(－c，0)滿足條件． 證明：設橢圓上任意一點，橢圓的左焦點為F(-c，0)，則直線的方程為：，令，求得點N的坐標為，，又直線的方程為：，令，求得點M的坐標為，，則直線MF的斜率，直線NF的斜率， ．因為點，在橢圓上，則，即，所以，所以，即恒為直角(Q與F重合)． (2)直線的方程為，求得，，且Q與F重合．直線BN的斜率，所以直線BN的方程為，點C的坐標為(0，-c)，因為B是CF中點，則點B的坐標是，，把點B的坐標代入到橢圓方程中得：1，即，整理得：，，或(舍去)，所以