已知橢圓的焦距為2c,左準(zhǔn)線為l,長軸頂點為、,過橢圓上任意縱坐標(biāo)非零的點P作直線與分別交l于M、N兩點
(1)試問在線段(O為原點)上是否能找到一點Q,使得對于上述的點P,恒為直角,若能,求出點Q的坐標(biāo);若不能說明理由;
(2)如圖,設(shè)直線NR與橢圓交于點B,與y軸交于點C,當(dāng)直線PN的斜率為時,點B恰為線段RC的中點,求此橢圓的離心率.
(2) (1)當(dāng)點P運動到特殊位置(0,b)時,直線的方程為bx+ay=ab,求得,同法求得,,設(shè),,, 由解得,推測:橢圓的左焦點F(-c,0)滿足條件. 證明:設(shè)橢圓上任意一點,橢圓的左焦點為F(-c,0),則直線的方程為:,令,求得點N的坐標(biāo)為,,又直線的方程為:,令,求得點M的坐標(biāo)為,,則直線MF的斜率,直線NF的斜率, .因為點,在橢圓上,則,即,所以,所以,即恒為直角(Q與F重合). (2)直線的方程為,求得,,且Q與F重合.直線BN的斜率,所以直線BN的方程為,點C的坐標(biāo)為(0,-c),因為B是CF中點,則點B的坐標(biāo)是,,把點B的坐標(biāo)代入到橢圓方程中得:1,即,整理得:,,或(舍去),所以 |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年廣東省中山市紀(jì)念中學(xué)、深圳市外國語學(xué)校、廣州市執(zhí)信中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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