Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設m＞0，求函數(shù)f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）證明：對?n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)，可得f′（x）=
令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）；
（2）①當0＜2m≤e，即0＜m≤時，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2m）=；
②當m≥e時，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（m）=；
③當m＜e＜2m，即時，由（1）知，f（x）_max=f（e）=
（3）由（1）知，當x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（e）=
∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=，即
當且僅當x=e時，等號成立
∴?x∈（0，+∞），恒有
∵，
∴
∴
分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，由導數(shù)的正負明確的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論，確定函數(shù)f（x）在[m，2m]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；
（3）先確定函數(shù)在（0，+∞）上，恒有f（x）=，即，從而可得x∈（0，+∞），恒有，進而可得結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，正確分類討論．