Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，（c＞1為常數(shù)，n=1，2，3，…），且
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①證明：a_n＜a_n+1；
②猜測(cè)數(shù)列{a_n}是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=2和n=3分別代入，可得到a₂和a₃的表達(dá)式代入即可求得c．
（2）①要證a_n＜a_n+1需證a_n+1-a_n＞0，把代入整理得
當(dāng)且僅當(dāng)a_n=2時(shí)，a_n+1=a_n．根據(jù)a₁=1進(jìn)而可證明．
②數(shù)列{a_n}有極限且極限值等于2．
（3）對(duì)進(jìn)行整理可得到關(guān)系式，然后代入到中找到的關(guān)系式，最后與作差比較大�。�
解答：（Ⅰ）解：依題意，
由，得，
解得c=2，或c=1（舍去）．
（Ⅱ）①證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101223116195129827/SYS201311012231161951298019_DA/13.png">，
當(dāng)且僅當(dāng)a_n=2時(shí)，a_n+1=a_n．
因?yàn)閍₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，）．
②數(shù)列{a_n}有極限，且．
（Ⅲ）解：由，可得a_n（a_n+1-a_n）=（a_n-2）（a_n+1-2），
從而．
因?yàn)閍₁=1，所以
所以
因?yàn)閍₁=1，由（Ⅱ）①得a_n≥1（n∈N^*）．（1）
下面證明：對(duì)于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．
當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=1，顯然結(jié)論成立．
假設(shè)結(jié)論對(duì)n=k（k≥1）時(shí)成立，即a_k＜2．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101223116195129827/SYS201311012231161951298019_DA/19.png">，且函數(shù)在x≥1時(shí)單調(diào)遞增，
所以．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．于是，當(dāng)n∈N^*時(shí)，有a_n＜2成立．（2）
根據(jù)（1）、（2）得1≤a_n＜2．
由a₁=1及，經(jīng)計(jì)算可得
所以，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；
當(dāng)n≥3時(shí)，由，得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的求和問題．?dāng)?shù)列是高考必考題，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．