已知F是橢圓C1=1的右焦點,點P是橢圓C1上的動點,點Q是圓C2:x2+y2=a2上的動點.
(1)試判斷以PF為直徑的圓與圓C2的位置關(guān)系;
(2)在x軸上能否找到一定點M,使得=e (e為橢圓的離心率)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)說明圓與圓的位置關(guān)系,只需說明其圓心距與半徑之間的關(guān)系,由題意易得以PF為直徑的圓與圓C2內(nèi)切.
(2)先假設(shè)存在,轉(zhuǎn)化為封閉型命題,從而有2(c-e2x)x+e2a2+e2x2-a2-c2=0,要使其恒成立,必然有要c-e2x=0,從而問題得解.
解答:解:(1)取PF的中點記為N,橢圓的左焦點記為F1,連接ON,則ON為△PFF1的中位線,所以O(shè)N=.又由橢圓的定義可知,PF1+PF=2a,從而PF1=2a-PF,故ON===a-
所以以PF為直徑的圓與圓C2內(nèi)切.
(2)設(shè)橢圓的半焦距為c,M (x,0),Q (x,y),F(xiàn) (c,0),
=e,得QF2=e2QM2,即(x-c)2+y2=e2[(x-x)+y2].
把x2+y2=a2代入并化簡整理,得2(c-e2x)x+e2a2+e2x2-a2-c2=0,
要此方程對任意的Q (x,y)均成立,只要c-e2x=0即可,
此時x==.所以x軸上存在點M,使得=e,M的坐標為(,0).
點評:本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系,考查橢圓的定義,對于存在性命題,通常是假設(shè)存在,從而轉(zhuǎn)化為封閉型命題,以此為條件進行求解.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,其中F2也是拋物線C2y2=4x的焦點,M是C1與C2在第一象限的交點,且MF2=
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(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知點A(1,m)(m>0)是橢圓C1上一點,E,F(xiàn)是橢圓C1上的兩個動點,若直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),探求直線EF的斜率是否為定值?如果是,求出定值;反之,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F是橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦點,點P是橢圓C1上的動點,點Q是圓C2:x2+y2=a2上的動點.
(1)試判斷以PF為直徑的圓與圓C2的位置關(guān)系;
(2)在x軸上能否找到一定點M,使得
QF
QM
=e (e為橢圓的離心率)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知F是橢圓C1數(shù)學(xué)公式=1的右焦點,點P是橢圓C1上的動點,點Q是圓C2:x2+y2=a2上的動點.
(1)試判斷以PF為直徑的圓與圓C2的位置關(guān)系;
(2)在x軸上能否找到一定點M,使得數(shù)學(xué)公式=e (e為橢圓的離心率)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省南京市金陵中學(xué)高考數(shù)學(xué)預(yù)測試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知F是橢圓C1=1的右焦點,點P是橢圓C1上的動點,點Q是圓C2:x2+y2=a2上的動點.
(1)試判斷以PF為直徑的圓與圓C2的位置關(guān)系;
(2)在x軸上能否找到一定點M,使得=e (e為橢圓的離心率)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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