Question

已知F是橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓C₂：x²+y²=a²上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）試判斷以PF為直徑的圓與圓C₂的位置關(guān)系；
（2）在x軸上能否找到一定點(diǎn)M，使得

QF

QM

=e （e為橢圓的離心率）？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）說(shuō)明圓與圓的位置關(guān)系，只需說(shuō)明其圓心距與半徑之間的關(guān)系，由題意易得以PF為直徑的圓與圓C₂內(nèi)切．
（2）先假設(shè)存在，轉(zhuǎn)化為封閉型命題，從而有2（c-e²x）x₀+e²a²+e²x²-a²-c²=0，要使其恒成立，必然有要c-e²x=0，從而問題得解．

解答：解：（1）取PF的中點(diǎn)記為N，橢圓的左焦點(diǎn)記為F₁，連接ON，則ON為△PFF₁的中位線，所以O(shè)N=

1

2

PF1．又由橢圓的定義可知，PF₁+PF=2a，從而PF₁=2a-PF，故ON=

1

2

PF1=

1

2

(2a-PF)=a-

1

2

PF．
所以以PF為直徑的圓與圓C₂內(nèi)切．
（2）設(shè)橢圓的半焦距為c，M （x，0），Q （x₀，y₀），F(xiàn) （c，0），
由

QF

QM

=e，得QF²=e²QM²，即（x₀-c）²+y₀²=e²[（x₀-x）+y₀²]．
把x₀²+y₀²=a²代入并化簡(jiǎn)整理，得2（c-e²x）x₀+e²a²+e²x²-a²-c²=0，
要此方程對(duì)任意的Q （x₀，y₀）均成立，只要c-e²x=0即可，
此時(shí)x=

c

e2

=

a2

c

．所以x軸上存在點(diǎn)M，使得

QF

QM

=e，M的坐標(biāo)為（

a2

c

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的定義，對(duì)于存在性命題，通常是假設(shè)存在，從而轉(zhuǎn)化為封閉型命題，以此為條件進(jìn)行求解．