Question

已知F₁、F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，橢圓C的離心率為

2

2

，過左焦點F₁的直線與C相交于A、B兩點，△ABF₂面積的最大值為3

2

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：當AB與橢圓的長軸垂直時，△ABF₂面積取最大值，此時|AB|=

2b2

a

，AB邊上的高為2c，結合橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

和a²=b²+c²，可得橢圓C的方程．

解答： 解：當AB與橢圓的長軸垂直時，△ABF₂面積取最大值，
此時|AB|=

2b2

a

，
AB邊上的高為2c，
∵此時△ABF₂面積為3

2

，
故

1

2

×

2b2

a

×2c=3

2

，
又∵橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

，
又由a²=b²+c²，
解得：a²=6，b²=3，
故橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1．

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，由已知構造方程，求出a²=6，b²=3，是解答的關鍵．