Question

如圖，在四面體ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面體所得截面為EFGH．
（1）若AB=CD=a，求證：截面EFGH為平行四邊形且周長(zhǎng)為定值．
（2）如果AB與CD所成角為θ，AB=a，CD=b是定值，當(dāng)E在AC何處時(shí)？截面EFGH的面積最大，最大值是多少？
（3）若AB到平面的距離為d₁，CD到平面的距離為d₂，且

d1

d2

=k，求立體圖形ABEFGH與四面體ABCD的體積之比（用k表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定與性質(zhì)，證出EF∥GH且EH∥FG，從而得到四邊形EGFH的兩組對(duì)邊分別平行，即四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一組對(duì)邊EH∥FG，這樣便得到截面EFGH的兩組對(duì)邊都平行，即得到截面EFGH是平行四邊形；
（3）把兩個(gè)圖形的體積表示出來求其體積之比即可．

解答： （1）證明：∵AB∥平面EFGH，AB?平面CAB，平面CAB∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF．同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．         …（2分）
且BA=DC=a，∴

EH

CD

=

AE

AC

①，

EF

AB

=

CE

AC

②，
則①+②得，

EH

CD

+

EF

AB

=

AE

AC

+

CE

AC

=1
∵BA=DC=a，
∴EF+EH=a，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2a，
故四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值．  …（4分）

（2）∵BA與DC所成角為θ，
∴平行四邊形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
∵EFGH為平行四邊形，令

CE

CA

=λ(0＜λ＜1)，
∴

EH

b

=

AE

AC

⇒EH=

AE

AC

b=(1-λ)b

EF

a

=

CE

AC

⇒EF=

CE

AC

a=λa
S_EFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
∴當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，即E為AC中點(diǎn)時(shí)，截面EFGH面積最大，最大值為

1

4

absinθ…（7分）
（3）解：設(shè)A到平面DBC的距離為h．
在△ABC中，∵AE：EC=d₁：d₃，
∴S△ABF：S△AEF：S△CEF=(d12+d1d2)：d1d2：d22
∴

VG-AEF

VG-ABF

=

d1d2

d12+d1d2

=

d2

d1+d2

，
又∵VG-AEF=VG-AEH，VG-ABF=VA-BEG=

1

3

S△BFG•h，
∴VABEFGH=

1

3

S△BFG•h+

2

3

•

d2

d1+d2

S△BFG•h．

點(diǎn)評(píng)：考查線面垂直的性質(zhì)，余弦定理，線面平行的性質(zhì)定理，以及平行線分線段成比例，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0．