Question

已知點(diǎn)M（0，-1），直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，有，求曲線C的方程；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，對(duì)任意m∈R，都有為定值T？指出T的值；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足，當(dāng)a=-2，m變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）是否存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，都有恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2求得A，B的坐標(biāo)，利用 可求曲線的方程；
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯(lián)立，化簡(jiǎn)得（a+m²）x²+2mx-1=0，假設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用 是定值，可求a及T；
（3）將條件 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式，從而可表達(dá)點(diǎn)P的從而，消去m得點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）由（2）知：=，求得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，故取M的值大于2時(shí)，都有恒成立，故存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，都有恒成立且M得最小值為：2．
解答：解：（1）由題意，直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2可得 ，
∵，∴，∴a=3
∴曲線C的方程為3x²+y²=2
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯(lián)立，化簡(jiǎn)得（a+m²）x²+2mx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則知 ，
∴x₁x₂+y₁y₂=+（mx₁+1）（mx₂+1）=
對(duì)任意m∈R，都有 成立．
得x₁x₂+y₁y₂=T定值，
∴可有a=-1，此時(shí)T=2；
（3）由（2）知
設(shè)P（x，y），則（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴
消去m得：（y-2）²-2x²=1，此即為點(diǎn)P的軌跡方程；
（4）由（2）知：=，
對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，
故取M的值大于2時(shí)，都有恒成立，
故存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的a∈（0，1），m∈R，都有恒成立，
M得最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題的可得時(shí)直線與圓錐曲線的綜合問題，解答關(guān)鍵是直線與曲線方程聯(lián)立解決位置關(guān)系問題，計(jì)算量大，有難度．