Question

設(shè)函數(shù)，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f₁（θ）、f₃（θ）的單調(diào)性，并就f₁（θ）的情形證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（Ⅲ）試給出求函數(shù)f_n（θ）的最大值和最小值及取得最值時θ的取值的一般規(guī)律（不要求給出證明）．

fn（θ）	fn（θ）的 單調(diào)性	fn（θ）的最小值及取得最小值時θ的取值	fn（θ）的最大值及取得最大值時θ的取值
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè) θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，]，根據(jù)三角函數(shù)的特點判斷f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁）＜0，從而得出結(jié)論；
（2）首先利用余弦的二倍角公式化簡原式的左邊等于cos²2θ，同理原式右邊也等于cos²2θ，從而證明結(jié)論．
（3）當(dāng)n=1時，f₁（θ）在[0，]上單調(diào)遞增，求出最值；當(dāng)n=3時，f₃（θ）在[0，]上為單調(diào)遞增，求出最值；
正奇數(shù)n≥5的情形，首先根據(jù)定義判斷出函數(shù)的單調(diào)遞增，從而得出f_n（θ）的最大值為=0，最小值為f_n（0）=-1．
解答：解：（Ⅰ）f₁（θ）、f₃（θ）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù)．…（1分）
設(shè) θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，]，則sinθ₁＜sinθ₂，cosθ₂＜cosθ₁，
∴f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁）＜0，
∴f₁（θ₁）＜f₁（θ₂），
∴函數(shù)f₁（θ）在上單調(diào)遞增；
同理f₃（θ₁）-f₃（θ₂）=（sin³θ₁-sin³θ₂）+（cos³θ₂-cos³θ₁）＜0，
∴f₃（θ₁）＜f₃（θ₂），
∴函數(shù)f₃（θ）在上單調(diào)遞增；…（3分）
（Ⅱ）∵原式左邊=2（sin⁶θ+cos⁶θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=2（sin²θ+cos²θ）（sin⁴θ-sin²θ•cos²θ+cos⁴θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=1-sin²2θ=cos²2θ．…（5分）
又∵原式右邊=（cos²θ-sin²θ）²=cos²2θ，
∴2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）．…（6分）
（Ⅲ）當(dāng)n=1時，函數(shù)f₁（θ）在上單調(diào)遞增，
∴f₁（θ）的最大值為，最小值為f₁（0）=-1，
當(dāng)n=2時，f₂（θ）=1，
∴函數(shù)f₂（θ）的最大、最小值均為1；
當(dāng)n=3時，函數(shù)f₃（θ）在上為單調(diào)遞增，
∴f₃（θ）的最大值為，最小值為f₃（0）=-1；
當(dāng)n=4時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴f₄（θ）的最大值為f₄（0）=1，最小值為；
下面討論正整數(shù)n≥5的情形：
當(dāng)n為奇數(shù)時，對任意且θ₁＜θ₂，
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
以及 0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1，0＜cosθ₂＜cosθ₁≤1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂，cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，從而 f_n（θ₁）＜f_n（θ₂），
∴f_n（θ）在上為單調(diào)遞增，則f_n（θ）的最大值為，最小值為f₄（0）=-1；
當(dāng)n為偶數(shù)時，一方面有 f_n（θ）=sinⁿθ+cosⁿθ≤sin²θ+cos²θ=1=f_n（0），
另一方面，由于對任意正整數(shù)l≥2，有2f_2l（θ）-f_2l-2（θ）=（cos^2l-2θ-sin^2l-2θ）（cos²θ-sin²θ）≥0，
∴．
∴函數(shù)f_n（θ）的最大值為f_n（0）=1，最小值為．
綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時，函數(shù)f_n（θ）的最大值為0，最小值為-1．
當(dāng)n為偶數(shù)時，函數(shù)f_n（θ）的最大值為1，最小值為．…（9分）
點評：本題考查了三角函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的判定以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，一般根據(jù)定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，是難題．