設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值;
(2)求s2,s3,s4及Sn;
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數(shù)值.
分析:(1)由
OM
=
1
2
OA
+
OB
)知M為線段AB的中點(diǎn),由M的橫坐標(biāo)為
1
2
得x1+x2=1,由此可求得y1+y2,從而可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo);
(2)根據(jù)Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),分別令n=2,3,4即可求得s2,s3,s4;由(1)知,由
1
n
+
n-1
n
=1
,得f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=1,從而可求得2Sn;
(3)先表示出an,利用裂項(xiàng)相消法求得Tn,分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決,利用基本不等式可得最值;
解答:解:(1)依題意,由
OM
=
1
2
OA
+
OB
)知M為線段AB的中點(diǎn),
又因?yàn)镸的橫坐標(biāo)為
1
2
,A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2
2
=
1
2
,即x1+x2=1,
y1+y2=1+log2(
x1
1-x1
x2
1-x2
)
=1+log21=1,
所以
y1+y2
2
=
1
2
,
即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值
1
2
;
(2)S2=f(
1
2
)=
1
2
+log2
1
2
1-
1
2
=
1
2
,
S3=f(
1
3
)+f(
2
3
)
=
1
2
+log2
1
3
1-
1
3
+
1
2
+log2
2
3
1-
2
3
=1,
S4=f(
1
4
)+f(
2
4
)+f(
3
4
)
=
1
2
+log2
1
4
1-
1
4
+
1
2
+log2
2
4
1-
2
4
+
1
2
+log2
3
4
1-
3
4
=
3
2

由(1)知,由
1
n
+
n-1
n
=1
,得f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=1,
又Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
),
所以2Sn=(n-1)×1,即Sn=
n-1
2
(n∈N*且n≥2);
(3)當(dāng)n≥2時(shí),an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
=
4
(n+1)(n+2)

又n=1時(shí),a1=
4
2×3
=
2
3
也適合,
所以an=
4
(n+1)(n+2)
(n∈N*)
,
Tn=
4
2×3
+
4
3×4
+…+
4
(n+1)(n+2)
=4(
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2

=4(
1
2
-
1
n+2
)=
2n
n+2
(n∈N*),
2n
n+2
≤λ(
n
2
+1)
恒成立(n∈N*)推得λ≥
4n
n2+4n+4
,
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4
4
4+4
=
1
2
(當(dāng)且僅當(dāng)n=2取等號(hào)),
λ≥
1
2
,∴λ的最小正整數(shù)為1.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式、數(shù)列與向量的綜合,考查恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想,綜合性強(qiáng),難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在定點(diǎn)Q,使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2

(Ⅰ)求證:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的Sn,設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對(duì)于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點(diǎn),已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長(zhǎng)為2,且
m
=(
x1
b
,
y1
a
),
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
(1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2
;
(2)求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值.

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