Question

15．（1）已知不等式ax²-3x+2＜0的解集為A={x|1＜x＜b}，求函數(shù)f（x）=（2a+b）x+$\frac{25}{（b-a）x+a}$（x∈A）的最小值．
（2）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=（1，-2），$\overrightarrow{OB}$=（a，-1），$\overrightarrow{OC}$=（-b，0），a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點，設(shè)A，B，C三點共線，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得1，b是方程ax²-3x+2=0的兩根，運用韋達定理，可得a=1，b=2，再由換元法和基本不等式，即可得到最小值16；
（2）由三點共線可得斜率相等，求得2a+b=1，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）由題意可得1，b是方程ax²-3x+2=0的兩根，（a＞0），
可得1+b=$\frac{3}{a}$，1•b=$\frac{2}{a}$，解得a=1，b=2，
函數(shù)f（x）=（2a+b）x+$\frac{25}{（b-a）x+a}$，即為
f（x）=4x+$\frac{25}{x+1}$（1＜x＜2），
令t=x+1（2＜t＜3），則x=t-1，
函數(shù)即為y=4t+$\frac{25}{t}$-4≥2$\sqrt{4t•\frac{25}{t}}$-4=16，
當(dāng)且僅當(dāng)4t=$\frac{25}{t}$即t=$\frac{5}{2}$，即有x=$\frac{3}{2}$時，取得最小值16；
（2）A，B，C三點共線，可得k_AB=k_AC，
即為$\frac{-1-（-2）}{a-1}$=$\frac{0-（-2）}{-b-1}$，
即有2a+b=1，a＞0，b＞0，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=4+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{3}$時，取得最小值4．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．