Question

已知圓C：x²+y²=r²（r＞0）經(jīng)過點（1，）．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在經(jīng)過點（-1，1）的直線l，它與圓C相交于A，B兩個不同點，且滿足=+（O為坐標原點）關系的點M也在圓C上？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由圓C：x²+y²=r²，再由點（1，）在圓C上，得r²=1²+（）²=4
所以圓C的方程為
x²+y²=4；
（2）假設直線l存在，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（x₀，y₀）
①若直線l的斜率存在，設直線l的方程為：
y-1=k（x+1），
聯(lián)立消去y得，
（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0，
由韋達定理得x₁+x₂=-=-2+，
x₁x₂==1+，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（k+1）（x₁+x₂）+（k+1）²=-3，
因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在圓C上，
因此，得x₁²+y₁²=4，
x₂²+y₂²=4，
由=+得x₀=，y₀=，
由于點M也在圓C上，
則=4，
整理得，+3+x₁x₂+y₁y₂=4，
即x₁x₂+y₁y₂=0，所以1++（-3）=0，
從而得，k²-2k+1=0，即k=1，因此，直線l的方程為
y-1=x+1，即x-y+2=0，
②若直線l的斜率不存在，
則A（-1，），B（-1，-），M；
+=4-≠4，
故點M不在圓上與題設矛盾
綜上所知：k=1，直線方程為x-y+2=0
分析：（1）把點（1，）代入圓的方程求得r，則圓的方程可得．
（2）假設直線l存在，設出點A，B和M的坐標，先看若直線l的斜率存在，設直線l的方程與圓的方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂=和x₁x₂的表達式，進而根據(jù)直線方程求得y₁y₂的表達式，把A，B點坐標代入圓的方程，根據(jù)=+求得x₀和y₀，代入圓的方程整理得x₁x₂+y₁y₂=0，進而求得k，直線l的方程可得．再看直線l的斜率不存在時，可分別求得A，B，M的坐標，代入圓方程結(jié)果不符合題意，可判定點M不在圓上．
點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．在解決直線方程問題時，一定要對斜率的存在情況進行討論．