Question

19．在平面直角坐標系中，直線l的方程為x+y+3=0，以直角坐標系中x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓M的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）寫出圓M的直角坐標方程及過點P（2，0）且平行于l的直線l₁的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)l₁與圓M的兩個交點為A，B，求$\frac{1}{PA}$+$\frac{1}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）極坐標方程ρ=2sinθ兩邊同乘ρ，得ρ²=2ρsinθ，從而能求出⊙M的直角坐標方程，直線x+y+3=0的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，由此能求出過點P（2，0）且平行于x+y+3=0的直線的參數(shù)方程．
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，由參數(shù)t 的幾何意義能求出$\frac{1}{PA}$+$\frac{1}{PB}$的值．

解答 解：（Ⅰ）極坐標方程ρ=2sinθ兩邊同乘ρ，得ρ²=2ρsinθ（1分）
其中ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ（2分）
所以⊙M的直角坐標方程為x²+y²-2y=0…①（3分）
又直線x+y+3=0的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，
所以過點P（2，0）且平行于x+y+3=0的直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcos\frac{3π}{4}\\ y=tsin\frac{3π}{4}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）…②（5分）
直線的參數(shù)方程不唯一，只要正確給分
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的②代入①整理得${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$（6分）
設(shè)方程的兩根為t₁，t₂，則有${t_1}+{t_2}=3\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$（7分）
由參數(shù)t 的幾何意義知PA+PB=t₁+t₂，PA*PB=t₁t₂（8分）
所以$\frac{1}{PA}+\frac{1}{PB}=\frac{PA+PB}{PA•PB}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$（10分）
若直線的參數(shù)方程不是標準型，沒有利用幾何意義，但通過其他方法得出結(jié)論的給分

點評 本題考查圓的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程的求法，考查代數(shù)式的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的性質(zhì)及互化公式的合理運用．