Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^xlnx-1，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）若g（x）=a在（0，2）上有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x）+$\frac{2}{eg（x）}$＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在（0，2）的最大值和最小值，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），得到函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值為1，則答案得證．

解答 （Ⅰ）解：g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，
故g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，而g（0）=0，g（2）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
若g（x）=a在（0，2）上有兩個不等實(shí)根，
則$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）證明：要證明f（x）+$\frac{2}{eg（x）}$＞0，
即證明xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$
設(shè)函數(shù)m（x）=xln x，
則m′（x）=1+ln x，
所以當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，m′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，m′（x）＞0．
故m（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
從而m（x）在（0，+∞）上的最小值為m（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
設(shè)函數(shù)n（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，則n′（x）=e^-x（1-x）．
所以當(dāng)x∈（0，1）時，n′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，n′（x）＜0．
故n（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而n（x）在（0，+∞）上的最大值為n（1）=-$\frac{1}{e}$；
因?yàn)閙_min（x）=m（1）=n_max（x），
所以當(dāng)x＞0時，m（x）＞n（x），
即f（x）+$\frac{2}{eg（x）}$＞0．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中高檔題．