Question

1．四邊形ABCD中，AC⊥BD且AC=2，BD=3，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的最小值為-$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 通過建立坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0），D（0，b），利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出數(shù)量積關(guān)于a，b的函數(shù)，求出函數(shù)的最小值．

解答 解：設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，以O(shè)為原點(diǎn)，AC，BD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)C（a，0），D（0，b），則A（a-2，0），B（0，b-3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2-a，b-3），$\overrightarrow{CD}$=（-a，b）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=a（a-2）+b（b-3）=（a-1）²+（b-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$．
∴當(dāng)a=1，b=$\frac{3}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$取得最小值-$\frac{13}{4}$．
故答案為：-$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計(jì)算以及向量的夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．