Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．數(shù)列{S_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，且a₂=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n+log₂$\frac{{2a}_{n+1}^{2}}{9}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞3×2ⁿ+10n+45成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）通過數(shù)列{S_n+3}是公比為2的等比數(shù)列且a₂=6可知2（a₁+3）=a₁+a₂+3，計算可得a₁=3，從而可知數(shù)列{S_n+3}是以6為首項、2為公比的等比數(shù)列，利用a_n+1=S_n+1+3-S_n-3計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）化簡可知b_n=$\frac{3}{2}$•2ⁿ+2n-1，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算可知T_n=-3+n²+3•2ⁿ，從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式n²-10n-48＞0，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{S_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，且a₂=6，
∴2（a₁+3）=a₁+a₂+3=a₁+6+3，
解得：a₁=3，
∴數(shù)列{S_n+3}是以6為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n+1=S_n+1+3-S_n-3=3•2ⁿ⁺¹-3•2ⁿ=$\frac{3}{2}$•2ⁿ⁺¹，
又∵a₁=3滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{3}{2}$•2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=a_n+log₂$\frac{{2a}_{n+1}^{2}}{9}$
=$\frac{3}{2}$•2ⁿ+log₂$\frac{2•\frac{9}{4}•{4}^{n}}{9}$
=$\frac{3}{2}$•2ⁿ+2n-1，
∴T_n=$\frac{3}{2}$•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2•$\frac{n（n+1）}{2}$-n
=-3+n²+3•2ⁿ，
∵T_n＞3×2ⁿ+10n+45，
∴-3+n²+3•2ⁿ＞3×2ⁿ+10n+45，
整理得：n²-10n-48＞0，即（n-5）²＞73，
解得：n＞5+$\sqrt{73}$，
∴滿足條件的最小正整數(shù)n=14．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．