Question

10．如圖四邊形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=$\sqrt{2}$，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，使二面角A-BD-C的大小在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，則直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{\sqrt{2}}{8}$]∪（$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{8}$，$\frac{5\sqrt{2}}{8}$]
• C． [0，$\frac{\sqrt{2}}{8}$]
• D． [0，$\frac{5\sqrt{2}}{8}$]

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍．

解答 解：取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，
∵AB=BD=DA=2．BC=CD=$\sqrt{2}$，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO=1，AO=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，
以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，
過點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
設(shè)二面角A-BD-C的平面角為θ，則$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
連AO、BO，則∠AOC=θ，A（$\sqrt{3}cosθ，0，\sqrt{3}sinθ$），
∴$\overrightarrow{BA}=（\sqrt{3}cosθ，1，\sqrt{3}sinθ）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，1，0）$，
設(shè)AB、CD的夾角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{|1-\sqrt{3}cosθ|}{2\sqrt{2}}$，
∵$θ∈[\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，∴cos$θ∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$，∴|1-$\sqrt{3}cosθ$|∈[0，$\frac{5}{2}$]．
∴cos$α∈[0，\frac{5\sqrt{2}}{8}]$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．