Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d都是實(shí)數(shù)，且滿足

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，則d的取值范圍是

(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，得（2a₁+d）（2a₁+3d）+（a₁+d）²=-2，將此式看作關(guān)于a₁的一元二次方程，利用△≥0 去求d的取值范圍．

解答：解：∵

S2S4

2

+

S 2 3

9

+2=0，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式得（2a₁+d）（2a₁+3d）+（a₁+d）²=-2，
展開并化簡整理得5a₁²+10a₁d+4d²+2=0，將此式看作關(guān)于a₁的一元二次方程，d為系數(shù)．
∵a₁、d為實(shí)數(shù)，∴△=100d²-4×5×（4d²+2 ）≥0．化簡整理得d²-2≥0，
∴d∈（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）
故答案為：（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式，一元二次方程根存在的判定，一元二次不等式的解法．本題的關(guān)鍵是用方程的眼光看待 5a₁²+10a₁d+4d²+2=0．