【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時,求|f(x)|的最大值.
【答案】
(1)解:因為f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3,所以f′(x)=3x2﹣6x+3a,
故f′(1)=3a﹣3,又f(1)=1,所以所求的切線方程為y=(3a﹣3)x﹣3a+4;
(2)解:由于f′(x)=3(x﹣1)2+3(a﹣1),0≤x≤2.
故當(dāng)a≤0時,有f′(x)≤0,此時f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,故
|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3﹣3a.
當(dāng)a≥1時,有f′(x)≥0,此時f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,故
|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a﹣1.
當(dāng)0<a<1時,由3(x﹣1)2+3(a﹣1)=0,得 ,
.
所以,當(dāng)x∈(0,x1)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(x1,x2)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x2,2)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)f(x)的極大值 ,極小值
.
故f(x1)+f(x2)=2>0, .
從而f(x1)>|f(x2)|.
所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.
當(dāng)0<a< 時,f(0)>|f(2)|.
又 =
故 .
當(dāng) 時,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).
又 =
.
所以當(dāng) 時,f(x1)>|f(2)|.
故 .
當(dāng) 時,f(x1)≤|f(2)|.
故f(x)max=|f(2)|=3a﹣1.
綜上所述|f(x)|max= .
【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)取x=1時的導(dǎo)數(shù)值及f(1),由直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程;(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分a≤0,0<a<1,a≥1三種情況求|f(x)|的最大值.特別當(dāng)0<a<1時,仍需要利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間(0,2)上的極值,然后在根據(jù)a的范圍分析區(qū)間端點(diǎn)值與極值絕對值的大小.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)在
上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)
在
內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)
的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值
,
比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線
的方程為
.
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求
的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的參數(shù)方程是
(
為參數(shù)),
與
交于
兩點(diǎn),
,求
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與圓
交于點(diǎn)A,B,與圓
交于點(diǎn)C,D.
(1) 若AB=,求CD的長;
(2)若直線斜率為2,求
的面積;
(3) 若CD的中點(diǎn)為E,求△ABE面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1 , 2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一半徑為的水輪如圖所示,水輪圓心
距離水面
;已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動,每
轉(zhuǎn)一圈,如果當(dāng)水輪上點(diǎn)
從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn)
)開始計算時間.
(1)以水輪所在平面與水面的交線為軸,以過點(diǎn)
且與水面垂直的直線為
軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)
距離水面的高度
表示為時間
的函數(shù);
(2)點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,
,且
分別為線段
的中點(diǎn),沿
把
折起,使
,得到如下的立體圖形.
(1)證明:平面平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的16%進(jìn)行獎勵;當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進(jìn)行獎勵.記獎金y(單位:萬元),銷售利潤x(單位:萬元)
(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型;
(2)如果業(yè)務(wù)員老張獲得5.6萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長為1的正六邊形ABCDEF中,記以A為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為 、
、
、
、
;以D為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為
、
、
、
、
.若m、M分別為(
+
+
)(
+
+
)的最小值、最大值,其中{i,j,k}{1,2,3,4,5},{r,s,t}{1,2,3,4,5},則m、M滿足( )
A.m=0,M>0
B.m<0,M>0
C.m<0,M=0
D.m<0,M<0
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