【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點且互相垂直的兩條直線分別與圓
交于點A,B,與圓
交于點C,D.
(1) 若AB=,求CD的長;
(2)若直線斜率為2,求
的面積;
(3) 若CD的中點為E,求△ABE面積的取值范圍.
【答案】(1) (2)
(3)
.
【解析】
(1)分析直線斜率是否存在,當(dāng)斜率存在時,利用圓中半弦長,半徑,弦心距構(gòu)成直角三角形求解即可(2)直線斜率為2,則直線
方程為
,求出弦長,點M到直線的距離,利用三角形面積公式求解即可(3)表示出△ABE的面積S=
AB·d=2
,令
,換元后根據(jù)二次函數(shù)求最值即可.
(1) 由題可知,直線AB斜率顯然存在,設(shè)為k,則直線AB:y=kx+1.
因為O點到直線AB的距離d1=,
∴+
=4,
∴AB=2
由2=
得k2=15.
因為直線AB與直線CD互相垂直,則直線CD:y=x+1,
∴M點到直線CD的距離d2=,
∴=1-
,CD=2
=2
=
.
(2) 直線斜率為2,則直線
方程為
到直線
距離為
到直線
距離為
(3)當(dāng)直線AB的斜率不存在時,△ABE的面積S=×4×2=4;
當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)為k,則直線AB:y=kx+1,k≠0,直線CD:y=-x+1.
由<1得k2>3, 所以k∈(-∞,-
)∪(
,+∞).
因為+
=4,所以AB=2
.
因為E點到直線AB的距離即M點到直線AB的距離d==
,
所以△ABE的面積S=AB·d=2
.
令,則S=
∈
.
綜上,△ABE面積的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一位數(shù)學(xué)老師在黑板上寫了三個向量,
,
,其中
,
都是給定的整數(shù).老師問三位學(xué)生這三個向量的關(guān)系,甲回答:“
與
平行,且
與
垂直”,乙回答:“
與
平行”,丙回答:“
與
不垂直也不平行”,最后老師發(fā)現(xiàn)只有一位學(xué)生判斷正確,由此猜測
,
的值不可能為( )
A. ,
B.
,
C.
,
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量=(4cos2(
-
),cosx+sinx),
=(sinx,cosx-sinx),設(shè)f(x)=
-1
(1)求滿足|f(x)|≤1的實數(shù)x的集合;
(2)若函數(shù)φ(x)=[f(2x)+tf(x)-tf(
-x)]-(1+
)在[-
,
]上的最大值為2,求實數(shù)t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中,
為正方形,
是菱形,平面
平面
.
(1)求證:平面
;
(2)求證:
;
(3)設(shè)點E,F,H,G分別是的中點,試判斷
四點是否共面,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點P(﹣1,0)的直線l交拋物線C于兩點A,B,點Q為線段AB的中點,若|FQ|=2,則直線l的斜率等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時,求|f(x)|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2cos2 cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣
.
(1)求cosA的值;
(2)若a=4 ,b=5,求向量
在
方向上的投影.
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