【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與圓交于點(diǎn)AB,與圓交于點(diǎn)C,D.

(1) 若AB,求CD的長;

(2)若直線斜率為2,求的面積;

(3) 若CD的中點(diǎn)為E,求△ABE面積的取值范圍.

【答案】(1) (2) (3) .

【解析】

(1)分析直線斜率是否存在,當(dāng)斜率存在時(shí),利用圓中半弦長,半徑,弦心距構(gòu)成直角三角形求解即可(2)直線斜率為2,則直線方程為,求出弦長,點(diǎn)M到直線的距離,利用三角形面積公式求解即可(3)表示出△ABE的面積S=AB·d=2,令,換元后根據(jù)二次函數(shù)求最值即可.

(1) 由題可知,直線AB斜率顯然存在,設(shè)為k,則直線AB:y=kx+1.

因?yàn)镺點(diǎn)到直線AB的距離d1,

+=4,

∴AB=2

由2得k2=15.

因?yàn)橹本AB與直線CD互相垂直,則直線CD:y=x+1,

∴M點(diǎn)到直線CD的距離d2,

=1-,CD=2=2.

(2) 直線斜率為2,則直線方程為

到直線距離為到直線距離為

(3)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),△ABE的面積S=×4×2=4;

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)為k,則直線AB:y=kx+1,k≠0,直線CD:y=-x+1.

<1得k2>3, 所以k∈(-∞,-)∪(,+∞).

因?yàn)?/span>=4,所以AB=2.

因?yàn)镋點(diǎn)到直線AB的距離即M點(diǎn)到直線AB的距離d=,

所以△ABE的面積S=AB·d=2.

,則S=

.

綜上,△ABE面積的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
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