Question

（2013•黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}具有性質(zhì)：①a₁為整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)n，當(dāng)a_n為偶數(shù)時(shí)，an+1=

an

2

；當(dāng)a_n為奇數(shù)時(shí)，an+1=

an-1

2

．
（1）若a₁為偶數(shù)，且a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求a₁的值；
（2）設(shè)a1=2m+3（m＞3且m∈N），數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：Sn≤2m+1+3；
（3）若a₁為正整數(shù)，求證：當(dāng)n＞1+log₂a₁（n∈N）時(shí)，都有a_n=0．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)a₁=2k，a₂=k，得到a₃=0，再分兩種情況：k是奇數(shù)，若k是偶數(shù)，即可求出a₁的值；
（2）根據(jù)題意知，當(dāng)m＞3時(shí)，Sn≤Sm+1=1+2+…+2m+4．再利用等比數(shù)列的求和公式即可證得結(jié)果；
（3）由于n＞1+log₂a₁，從而n-1＞log₂a₁，得出2^n-1＞a₁由定義可得

an+1

an

≤

1

2

，利用累乘的形式有an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1≤

1

2n-1

a1，從而an＜

1

2n-1

•2n-1=1，再根據(jù)a_n∈N，得出當(dāng)n＞1+log₂a₁（n∈N）時(shí)，都有a_n=0．

解答：解：（1）設(shè)a₁=2k，a₂=k，則：2k+a₃=2k，a₃=0
分兩種情況：k是奇數(shù)，則a3=

a2-1

2

=

k-1

2

=0，k=1，a₁=2，a₂=1，a₃=0
若k是偶數(shù)，則a3=

a2

2

=

k

2

=0，k=0，a₁=0，a₂=0，a₃=0
（2）當(dāng)m＞3時(shí)，a1=2m+3，a2=2m-1+1，a3=2m-2，a4=2m-3，a5=2m-4，…，am=2，am+1=1，am+2=…=an=0
∴Sn≤1+1+3+2+22+23…+2m=5+

2(1-2m)

1-2

=2m+1 +3
（3）∵n＞1+log₂a₁，∴n-1＞log₂a₁，∴2^n-1＞a₁
由定義可知：an+1=

an 2 ，an是偶數(shù) an-1 2 ，an是奇數(shù)

≤

an

2

∴

an+1

an

≤

1

2

∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1≤

1

2n-1

a1
∴an＜

1

2n-1

•2n-1=1
∵a_n∈N，∴a_n=0，
綜上可知：當(dāng)n＞1+log₂a₁（n∈N）時(shí)，都有a_n=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，同時(shí)考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀(guān)察規(guī)律，避免錯(cuò)誤，屬于中檔題．