Question

求二項(xiàng)式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開(kāi)式中：
（1）常數(shù)項(xiàng)；
（2）奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（3）各項(xiàng)系數(shù)之和；
（4）有幾個(gè)有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-2)r

C

r 15

x5-

5r

6

，令x的指數(shù)為0，求出常數(shù)項(xiàng)．
（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)，得奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和．
（3）令二項(xiàng)式中的x=1得到各項(xiàng)系數(shù)之和為-1；
（4）項(xiàng)為有理項(xiàng)，需5-

5r

6

為整數(shù)，所以r為6的倍數(shù)，得到r的取值即有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

解答：解：（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-2)r

C

r 15

x5-

5r

6

，
令5-

5r

6

=0得r=6，
即常數(shù)項(xiàng)為T(mén)₇=2⁶C₁₅⁶，
（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得
奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2^n-1=2¹⁴
（3）令二項(xiàng)式中的x=1得到各項(xiàng)系數(shù)之和為-1；
（4）項(xiàng)為有理項(xiàng)，需5-

5r

6

為整數(shù)，
所以r為6的倍數(shù)，
所以r可取0，6，12三個(gè)數(shù)，故共有3個(gè)有理項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具；考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開(kāi)式的中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大及展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ．