Question

設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。

（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M.

∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）.      …………………          ①

又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得

P（4，）.

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）.

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）. … ……………   ②

將①代入②，化簡(jiǎn)得?＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2< x₁<2，－2< x₂<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）2＋（）2－[( x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₂                       ③

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，

∴，即y₂＝                         ④

又點(diǎn)M在橢圓上，則，即           ⑤

于是將④、⑤代入③，化簡(jiǎn)后可得－＝.

從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。