Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R）的圖象過點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上單調(diào)遞增，試求n-m的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因c=0，代入f（x）=ax³+bx²+c得f（x）=ax³+bx²，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上單調(diào)遞增，可以令f′（x）=3ax²+2bx=0，得函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，從而求出n-m的表達(dá)式，最后求解．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)P（-1，2），所以-a+b+c=2．
又f′（x）=3ax²+2bx，且在點(diǎn)P處的切線與直線x-3y=0垂直．
所以3a-2b=-3，且c=0，所以a=1，b=3．所以f（x）=3x²+6x．
令f′（x）=0?x₁=0，x₂=-2．顯然當(dāng)x＜-2或x＞0時，f′（x）＞0；
當(dāng)-2＜x＜0時，f′（x）＜0．則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（0，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-2，0）．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3ax²+2bx=0，得x1=0，x2=-

2b

3a

．
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以當(dāng)x＞0或x＜-

2b

3a

時，f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-

2b

3a

)，(0，+∞)．
所以n-m≥0-(-

2b

3a

)=

2b

3a

.
又由（Ⅰ）知：3a-2b=-3，
所以n-m≥

2b

3a

=

3a+3

3a

=1+

1

a

＞1.
所以n-m＞1．（14分）

點(diǎn)評：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學(xué)生會用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無限的思想來解決問題．