Question

若在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M和兩個(gè)定點(diǎn)，,且

求動(dòng)點(diǎn)M軌跡的方程；

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在軌跡上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：

所以，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是: 以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為的橢圓，且短半軸長(zhǎng)為

所以軌跡的方程為-----4分

（2）直線與圓相切．

證明如下：設(shè)點(diǎn)，，顯然其中,

因?yàn)?sub>，，所以，即，所以

①
  直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，代入橢圓方程可得：

，解得：，

此時(shí)直線的方程為或，顯然與圓相切.

②當(dāng)直線的斜率存在，即時(shí)，直線的方程為：

，即……(9分)

此時(shí)，圓心到直線的距離

又因?yàn)?sub>，

所以

==

=，所以，直線與圓相切．

綜上，直線與圓相切．……(14分)