已知函數(shù)f(x)=
ax
1+x
的函數(shù)圖象過點(1，
1
2
)
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)f(x)=
ax
1+x
的函數(shù)圖象過點(1，
1
2
)，可得
1
2
=
a
1+1
，由此解得a的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）設(shè)-1＜x1＜x2，由f（x1）-f（x2）=
x1-x2
(1+x1)(1+x2)
＜0，可得函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)．
解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=
ax
1+x
的函數(shù)圖象過點(1，
1
2
)，可得
1
2
=
a
1+1
，
∴a=1，故函數(shù)f（x）=
x
1+x
．
（2）由于函數(shù)f（x）=
x
1+x
=1-
1
1+x
，設(shè)-1＜x1＜x2，
∵f（x1）-f（x2）=
1
1+x2
-
1
1+x1
=
x1-x2
(1+x1)(1+x2)
，
再由-1＜x1＜x2 可得1+x1＞0，1+x2＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），
故 函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)．
點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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