精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

對一個邊長為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S₁= $數(shù)學(xué)公式$ ；第二步，將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積 $數(shù)學(xué)公式$ ．若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積V_n=________．

$\text{[math]}$
分析：類比正方形求面積，可得正方體求體積，得出所有體積構(gòu)成以 $\text{[math]}$ 為首項， $\text{[math]}$ 為公比的等比數(shù)列，從而可得結(jié)論．
解答：推廣到棱長為1的正方體中，第一步，將它分割成3×3×3個正方體，其中心和八個角的9個小正方體，其體積為
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，第二步，執(zhí)行同樣的操作，其體積為 $\text{[math]}$ ，依此類推，到第n步，所有體積構(gòu)成以 $\text{[math]}$ 為首項， $\text{[math]}$ 為公比的等比數(shù)列，
∴到第n步，所得幾何體的體積V_n= $\text{[math]}$
故答案為 $\text{[math]}$ ．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項的求解，解題的關(guān)鍵是得出所有體積構(gòu)成以 $\text{[math]}$ 為首項， $\text{[math]}$ 為公比的等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•福州模擬）對一個邊長為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S₁=

；第二步，將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn=

n．若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積V_n=

(

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年福建省福州市高三3月質(zhì)量檢查試題文科數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

對一個邊長為1的正方形進(jìn)行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S₁=；第二步，將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積．若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積V_n=____________