Question

5．設(shè)定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6．若x₀是方程f（x）-$\frac{1}{xln2}$=4的一個(gè)解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N⁺），則實(shí)數(shù)a的值（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)f（m）=6，則由f[f（x）-log₂x]=6可得f（x）-log₂x=m，求出m值，設(shè)$g（x）={log_2}x-\frac{1}{xln2}$，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得答案．

解答 解：設(shè)f（m）=6，則由f[f（x）-log₂x]=6可得f（x）-log₂x=m，
整理可得f（x）=log₂x+m，則f（m）=log₂m+m=6，解得m=4，
所以f（x）=log₂x+4，
所以${log_2}x+4-\frac{1}{xln2}=4$，即${log_2}x-\frac{1}{xln2}=0$，
設(shè)$g（x）={log_2}x-\frac{1}{xln2}$，由$g（1）=-\frac{1}{ln2}＜0$，$g（2）=1-\frac{1}{2ln2}＞0$，$g（3）={log_2}3-\frac{1}{3ln2}＞0$，…且g（x）為增函數(shù)，
可得g（x）在（1，2）上存在零點(diǎn)，即方程f（x）-f'（x）=4的解在（1，2），
所以a=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．