Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（1）設(shè)c_n=

1

bn-1

，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求b_n的通項公式；
（2）求S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，由此能證明數(shù)列{c_n}是以-4為首項，-1為公差的等差數(shù)列，并能求出b_n=

n+2

n+3

．
（2）由a_n=1-b_n=

1

n+3

，利用裂項求和法能求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1的值．

解答： （1）證明：∵b_n+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，
∵c_n=

1

bn-1

，a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，
∴c1=

1

b1-1

=

1

- 1 4

=-4，
∴∴數(shù)列{c_n}是以-4為首項，-1為公差的等差數(shù)列，
∴c_n=

1

bn-1

=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．
∴b_n=

n+2

n+3

．
（2）∵a_n=1-b_n=

1

n+3

，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的合理運用，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．