Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

．
（I）求

sinC

sinA

的值；
（II）若cosB=

1

4

，△ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng)，并求cos(2A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化簡(jiǎn)等式的右邊，然后整理，利用兩角和的正弦函數(shù)求出

sinC

sinA

的值．
（II）利用（1）可知c=2a，結(jié)合余弦定理，三角形的周長(zhǎng)，即可求出b的值．利用余弦定理求出cosA，sinA，通過兩角和的余弦函數(shù)以及二倍角公式，即可求解cos(2A+

π

4

)的值．

解答：解：（I）因?yàn)?span id="evn9wcs" class="MathJye">

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

所以

cosA-2cosC

cosB

=

2sinC-sinA

sinB

即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-COSbsinA
所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA
所以

sinC

sinA

=2
（II）由（1）可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b²=a²+c²-2accosB…③
cosB=

1

4

…④
解①②③④可得a=1，b=c=2；
所以b=2，由余弦定理可知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7

8

，所以sinA=

15

8

，
∴cos(2A+

π

4

)=

2

2

cos2A-

2

2

sin2A
=

2

cos2A-

2

2

-

2

sinAcosA
=

2

(

7

8

)2-

2

2

-

2

×

15

8

×

7

8

=

17 2 -7 30

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、兩角和的三角函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想，考查計(jì)算能力，常考題型．