Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處與直線y=2相切，求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處與直線y=2相切，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)值為0，把x=1代入f（x）中得到函數(shù)值為2，列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a和b的值；
（2）把導(dǎo)函數(shù)分解因式，分a大于0和a小于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，（2分）
∵曲線在點（1，f（1））處與直線y=2相切，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

3-3a=0 1-3a+b=2

，（4分）
解得

a=1 b=4

．（5分）
（2）∵f'（x）=3x²-3a=3（x²-a）（a≠0）（7分）
（i）當(dāng)a＜0時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；（9分）
（ii）當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0，得x＞

a

或x＜-

a

，（10分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-

a

，

a

）．（12分）

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的得到區(qū)間，是一道中檔題．