若a＞0，b＞0，且點（a，b）在過點（1，-1），（2，-3）的直線上，則S=2
ab
-4a2-b2的最大值是
2
-1
2
2
-1
2
．
分析：由點（a，b）在過點（1，-1）和（2，-3）的直線上得2a+b=1，所以S=2
ab
-4a2-b2=4ab+2
ab
-1，再令
ab
=t＞0，則S化為關(guān)于t的二次函數(shù)形式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合t的取值范圍可得S的最大值．
解答：解：過點（1，-1），（2，-3）的直線方程為：
y+3
-1+3
=
x-2
1-2
，2x+y-1=0．
∴2a+b-1=0，即2a+b=1．
S=2
ab
-4a2-b2=4ab+2
ab
-（2a+b）2=4ab+2
ab
-1
令
ab
=t，∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1≥2
2a•b
，∴0＜
ab
≤
2
4
，即 0＜t ≤
2
4
，
則 S=4t2+2t-1，在（0，+∞）上為增函數(shù)
故 當(dāng)t=
2
4
 時，S 有最大值
2
-1
2
，
故答案為：
2
-1
2
．
點評：本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．注意利用等價轉(zhuǎn)換，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)來求這個最值問題．運用換元的思想得到 S=4t2+2t-1，
是解決本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（　�。�
A、2B、3C、6D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=
8
3
x3-ax2-2bx+1在x=1處有極值，則ab的最大值等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且a+b=1．求證：
（Ⅰ）ab≤
1
4
；     
（Ⅱ）
4
3
≤
1
a+1
+
1
b+1
＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a＞0，b＞0，且4a+b=1，則
1
a
+
4
b
的最小值是
16
16
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐州三模）若a＞0，b＞0，且
1
2a+b
+
1
b+1
=1，則a+2b的最小值為
2
3
+1
2
2
3
+1
2
．

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