Question

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

3

sinB-cosB=1．
（Ⅰ）若A=

5π

12

，b=1，求c；
（Ⅱ）若a=2c，求A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式左邊提取2，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，再由A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，進(jìn)而由sinC，sinB及b的值，利用正弦定理即可求出c的值；
（Ⅱ）由余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，將a=2c及cosB的值代入，用c表示出b，再利用勾股定理的逆定理判斷出三角形為直角三角形，即A為直角，得到A的度數(shù)．

解答：（共13分）
解：（Ⅰ）由已知

3

sinB-cosB=1，
整理得：2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，即sin（B-

π

6

）=

1

2

，…（3分）
∵0＜B＜π，
∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

．
∴B-

π

6

=

π

6

，解得：B=

π

3

，…（4分）
由A=

5π

12

，且A+B+C=π，得C=

π

4

，又b=1，
∴由

c

sinC

=

b

sinB

得：c=

bsinC

sinB

=

1× 2 2

3 2

=

6

3

；…（7分）
（Ⅱ）∵b²=a²+c²-2accosB，又a=2c，B=

π

3

，
∴b²=4c²+c²-4c²×

1

2

，
解得：b=

3

c，…（10分）
∴a²=4c²，b²+c²=3c²+c²=4c²，即a²=b²+c²，
則△ABC為直角三角形，且A=

π

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，勾股定理的逆定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．