Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是橢圓C上的點，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點A（x₀，y₀）（y₀≠0）在橢圓C上，若點N與點A關于原點對稱，連接AF₂并延長與橢圓C的另一個交點為M，連接MN，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，又b²=a²-c²=c²，將（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，解得c=1，即可求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線AM的方程是x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出|AM|，求出點O（0，0）到直線AM的距離，可得△OAM的面積，利用基本不等式，即可求△OAM的面積的最大值．△AMN面積的最大值是△OAM的面積的最大值的2倍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，
將（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
解得：c=1，
則a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）橢圓的右焦點F（1，0），設直線AM的方程是x=my+1，與$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$聯(lián)立，
可得（m²+2）y²+2my-1=0，
設A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），則x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
于是|AM|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，點O（0，0）到直線MN的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
于是△AMN的面積s=2s_OAM=|MN|d=$\frac{2\sqrt{2（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+2}$=2$\sqrt{\frac{2}{{m}^{2}+1+\frac{1}{{m}^{2}+1}+2}}$．
∵${m}^{2}+1+\frac{1}{{m}^{2}+1}≥2$，∴△AMN的面積S$≤2×\sqrt{\frac{2}{2+2}}=\sqrt{2}$．當且僅當即m=0時取到最大值$\sqrt{2}$．

點評 代入法求軌跡方程關鍵是確定坐標之間的關系，直線與圓錐曲線位置關系問題常常需要聯(lián)立方程組，利用韋達定理．屬于中檔題．