Question

7．已知各項均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且對任意的n∈N^*，滿足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}，{a_{n+2}}-{a_n}＞3×{2^n}$-1，則a₂₀₁₇=2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 由滿足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}$，可得a_n+2-a_n+1＜2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$，可得a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1．又a_n+2-a_n＞3×2ⁿ-1．可得a_n+2-a_n=
3×2ⁿ．利用“累加求和”方法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由滿足a_n+1-a_n＜2ⁿ+$\frac{1}{2}$，
∴a_n+2-a_n+1＜2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$，∴a_n+2-a_n＜3×2ⁿ+1．
又a_n+2-a_n＞3×2ⁿ-1．
∴a_n+2-a_n=3×2ⁿ．
∴a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₅）+（a₂₀₁₅-a₂₀₁₃）+…+（a₃-a₁）+a₁
=3×2²⁰¹⁵+3×2²⁰¹³+…+3×2¹+2
=3×$\frac{2（{4}^{1008}-1）}{4-1}$+2
=2²⁰¹⁷．
故答案為：2²⁰¹⁷．

點評 本題考查了“累加求和”方法、等比數(shù)列的求和公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．