Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx在[t，t+1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是（　　）

• A． {t|3＞t＞2或0＜t＜1}
• B． {t|t＞2}
• C． {t|t＞3}
• D． {t|4＞t＞3或0＜t＜1}

Answer 1

分析 先由函數(shù)求f′（x），再由“函數(shù)f（x）在[t，t+1]上不單調(diào)”轉(zhuǎn)化為：f′（x）=0在區(qū)間（t，t+1）上有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為：x²-5x+4=0在（t，t+1）上有解，進(jìn)而求出答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx，
∴f′（x）=x-5+$\frac{4}{x}$，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx在（t，t+1）上不單調(diào)，
∴f′（x）=x-5+$\frac{4}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴$\frac{{x}^{2}-5x+4}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-5x+4=0在（t，t+1）上有解，
由x²-5x+4=0得：x=1，或x=4，
∴1∈（t，t+1）或4∈（t，t+1），
即t∈（0，1）或（3，4），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題．注意判別式的應(yīng)用．