Question

在無窮數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，a_n＜a_n+1．設(shè)m∈N^*，記使得a_n≤m成立的n最大值為b_m．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列為1，3，5，7，…，寫出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{b_n}為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列{a_n}；
（Ⅲ）設(shè)a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，求b₁+b₂+…+b_q的值．（用p，q，A表示）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，即可寫出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{b_n}為等差數(shù)列，先判斷a_n≥n，再證明a_n≤n，即可求出所有可能的數(shù)列{a_n}．
（Ⅲ）確定b₁，b₂，依此類推，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出b_q，從而求出b₁+b₂+…+b_q的值．

解答： 解：（Ⅰ）a_n≤1，則b₁=1，a_n≤2，則b₂=1，a_n≤3，則b₃=3．
（Ⅱ）由題意，得1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，得a_n≥n．
又∵使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，使得a_n≤m+1成立的n的最大值為b_m+1，
∴b₁=1，b_m≤b_m+1．
設(shè)a₂=k，則k≥2．
假設(shè)k＞2，即a₂=k＞2，
則當(dāng)n≥2時，a_n＞2；當(dāng)n≥3時，a_n≥k+1．
∴b₂=1，b_k=2．
∵{b_n}為等差數(shù)列，
∴公差d=b₂-b₁=0，
∴b_n=1，．
這與b_k=2（k＞2）矛盾，
∴a₂=2．
又∵a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
∴b₂=2，
由{b_n}為等差數(shù)列，得b_n=n．
因為使得使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，
∴a_n≤n，由a_n≥n，得a_n=n
（Ⅲ）設(shè)a₂=k（k＞1）
∵a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
∴b₁=b₂=…b_k-1=1且b_k=2，
∴數(shù)列{b_n}中等于1的項有（k-1）個，即（a₂-a₁）個，
設(shè)a₃=l，（l＞k）
則b_k=b_k+1=…b_l-1=2，且b_l=3，
∴數(shù)列{b_n}中等于2的項有（l-k）個，即（a₃-a₂）個，
…
以此類推：數(shù)列{b_n}中等于p-1的項有（a_p-a_q）個
∴b₁+b₂+…+b_q=（a₂-a₁）+2（a₃-a₂）+…（p-1）（a_p-a_p-1）+p
=-a₁-a₂-…-a_p+（p-1）a_p+p
=pa_p+p-（a₁+a₂+…+a_p）
=p（q+1）-A
即：b₁+b₂+…+=p（q+1）-A．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生對題意的理解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度