如圖所示，AB是圓臺上底面⊙O的直徑，C是⊙O上不同于A、B的一點，D是圓臺下底面⊙O′上的一點，過A、B、C、D的截面垂直與底面，M是CD的中點，又AC=AD=2，∠CAD=120°，∠BCD=30°．
（1）求證AM⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DB-C的正切值．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定
專題：空間角
分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BC⊥AC，BC⊥面ACD，從而得到BC⊥AM．由此證明AM⊥平面BCD．
（Ⅱ）作MG⊥BD于G，連接AG，由三垂線定理知∠AGM就是二面角A-DB-C的平面角．由此能求出二面角A-DB-C的正切值．
解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：由AB是⊙O的直徑，C是⊙O上不同于A、B的一點，
知BC⊥AC．
∵面ACD⊥面ABC，∴BC⊥面ACD，∴BC⊥AM．
∵AC=AD，M是CD的中點，∴AM⊥CD，
∴AM⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）作MG⊥BD于G，連接AG．
由（1）知AM⊥平面BCD，根據(jù)三垂線定理得AG⊥BD，
∴∠AGM就是二面角A-DB-C的平面角．
∵AC=AD=2，∠CAD=120°，M是CD的中點，∴AM=1，DM=
3
，
在Rt△MGD中，MG=MDsin∠MDG=
3
3
sin30°=
3
2
．
∴在Rt△AMG中，tan∠AGM=
AM
MG
=
1
3
2
=
2
3
3
．…（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=sin（2x-
π
4
）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�
A、[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]（k∈Z）
B、[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]（k∈Z）
C、[kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
]（k∈Z）
D、[kπ+
3π
8
，kπ+
7π
8
]（k∈Z）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓x2+
y2
4
=1的左、右兩個頂點分別為A，B，曲線C是以A，B兩點為頂點，焦距為2
5
的雙曲線．設點P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設P，T兩點的橫坐標分別為x1，x2，求證：x1•x2為定值；
（Ⅲ）設△TAB與△POB（其中o為坐標原點）的面積分別為s1與s2，且
PA
•
PB
≤15，求s12-s22的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx-2sin2x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（3）=0，求f（x）＞0的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，其離心率e=
5
3
，短軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點Q（1，1），直線l：y=x+m（m∈R）和橢圓C相交于A、B兩點，是否存在實數(shù)m，使△ABQ的面積S最大？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a2-b2=bc，2sinB-sinC=0，求角A的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在無窮數(shù)列{an}中，a1=1，對于任意n∈N*，都有an∈N*，an＜an+1．設m∈N*，記使得an≤m成立的n最大值為bm．
（Ⅰ）設數(shù)列為1，3，5，7，…，寫出b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列{an}；
（Ⅲ）設ap=q，a1+a2+…+ap=A，求b1+b2+…+bq的值．（用p，q，A表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-(x-1)2
，0≤x＜2
f(x-2)，x≥2
，若對于正數(shù)kn（n∈N*），直線y=kn•x與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2n+1個不同交點，則
lim
n→∞
（k12+k22+…+kn2）=
 
．

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