Question

【題目】若函數(shù)的圖像與的圖像交于不同的兩點，線段的中點為

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）設，轉(zhuǎn)化為有兩個零點時的取值范圍，求，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，結(jié)合零點存在性定理，即可求解；

（2）將所證的不等式用表示，，再令，轉(zhuǎn)化為證明 ，再等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，，利用求導研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式.

（1）設，

題意即有兩個不同的零點，，

當時，，在上單調(diào)遞增，

至多一個零點，不滿足題意.

當時，令，得，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

所以時，取得極小值，

也是最小值為

若即，則至多一個零點，不滿足題意.

若即，則由，

知在存在一個零點，

又.

設在上恒成立，

，所以.

所以在存在一個零點，

從而有個兩個不同零點，滿足題意.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（2）要證只要證

只需證

不妨設，即證

要證，只需證，

設，則

所以在上為增函數(shù)，

從而，即成立.

要證，只需證

設.則

所以在上為減函數(shù)，從而，

即中上成立，

所以成立，即.