Question

8．設(shè)A（7，1），B（1，5），P（7，14）為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求向量$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最小值；
（2）當(dāng)$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)M滿足（2）的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AMB的值．

Answer 1

分析 （1）M為線段OP上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從而設(shè)M（x，2x），0≤x≤7，根據(jù)投影公式求得$\overrightarrow{MA}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影為$-\frac{（x+19）\sqrt{13}}{13}$，根據(jù)x的范圍從而求出投影的最小值；
（2）寫(xiě)出$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，從而求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=5{x}^{2}-20x+12$，配方根據(jù)x的范圍即可得到x=2時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取到最小值，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；
（3）x=2時(shí)，寫(xiě)出$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式即可求出cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$．

解答 解：（1）根據(jù)條件設(shè)M（x，2x），0≤x≤7，$\overrightarrow{MA}=（7-x，1-2x）$，$\overrightarrow{AB}=（-6，4）$；
∴$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影為：$|\overrightarrow{MA}|cos＜\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{AB}＞$=$|\overrightarrow{MA}|\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{-6（7-x）+4（1-2x）}{2\sqrt{13}}$=$-\frac{（x+19）\sqrt{13}}{13}$；
∴x=7時(shí)，$-\frac{（x+19）\sqrt{13}}{13}$取最小值$-2\sqrt{13}$；
∴向量$\overrightarrow{MA}$在向量$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最小值為$-2\sqrt{13}$；
（2）$\overrightarrow{MB}=（1-x，5-2x）$；
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（7-x）（1-x）+（1-2x）（5-2x）$=5x²-20x+12=5（x-2）²-8；
∴x=2時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取最小值-8；
此時(shí)M（2，4）；
（3）$\overrightarrow{MA}=（5，-3），\overrightarrow{MB}=（-1，1）$；
∴$cos∠AMB=\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}=\frac{-8}{\sqrt{34}•\sqrt{2}}$=$-\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 考查一個(gè)向量在另一向量方向上投影的定義及計(jì)算公式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，配方求最值的方法，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．