Question

16．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，原點到過橢圓右焦點F且斜率是1的直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A，B為橢圓長軸的兩個端點，作不平行于坐標(biāo)軸且不經(jīng)過右焦點F的光線PQ，若滿足∠AFP=∠BFQ，求證：割線PQ恒經(jīng)過一定點．

Answer 1

分析 （1）寫出直線l的方程y=x-c，由題意可得$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{\sqrt{2}}$，求出c值，再由e=$\frac{1}{2}$求得a，結(jié)合異號條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且割線PQ的方程為y=kx+m（k≠0），聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P，Q兩點橫坐標(biāo)的和與積．結(jié)合∠AFP=∠BFQ，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}=0$，整理后再與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立得到m=-4k．代入割線方程，由直線系方程得答案．

解答 （1）解：依題意設(shè)l：y=x-c，
則$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{\sqrt{2}}$，即c=1，又e=$\frac{1}{2}$，
則a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且割線PQ的方程為y=kx+m（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=$-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$（*）．
由∠AFP=∠BFQ，得k_PF=-k_OF，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}=0$，
即y₁（x₂-1）+y₂（x₁-1）=0．
即2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
將（*）代入上式得：$2k\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+（m-k）\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}-2m=0$，
化簡得：m=-4k．
∴割線PQ的方程為y=k（x-4），則割線PQ恒經(jīng)過一定點（4，0）．

點評 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，考查了直線恒過定點問題，該題是中檔題．