Question

5．在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，B=60°，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，那么b=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等差中項的性質(zhì)可知2b=a+c．平方后整理得a²+c²=4b²-2ac．利用三角形面積求得ac的值，進而把a²+c²=4b²-2ac．代入余弦定理求得b的值．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，平方得a²+c²=4b²-2ac①．
又∵△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且∠B=60°，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得ac=2②，
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，把①②整體代入可得，$\frac{4^{2}-4-^{2}}{4}=\frac{1}{2}$，解得b²=2，
∴b=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了解三角形的問題．解題過程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面積公式以及勾股定理等知識，考查了轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．