Question

7．若函數(shù)f（x）=x³-3x+5-a（a∈R）在$（{-3，\frac{3}{2}}）$上有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是$[{\frac{31}{8}，7}）∪\left\{3\right\}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值以及端點(diǎn)值，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求出a的范圍即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x³-3x+5-a，
則f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在（-3，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，$\frac{3}{2}$）遞增，
故f（x）_極大值=f（-1）=7-a，f（x）_極小值=f（1）=3-a，
而f（-3）=-13-a，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{31}{8}$-a，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（\frac{3}{2}）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）＜0}\\{f（0）＞0}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$，
解得：a∈$[{\frac{31}{8}，7}）∪\left\{3\right\}$，
故答案為：$[{\frac{31}{8}，7}）∪\left\{3\right\}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．