Question

15．已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x²+y²=1，動點M到圓的切線長與|MQ|的比值分別為1或2時，分別求出點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設出M的坐標，通過解直角三角形表示出切線長，利用兩點距離公式表示出|MQ|的長，利用已知條件求出點M 的軌跡方程．

解答 解：設點M的坐標為（x，y），
則點M到圓的切線長|MA|=$\sqrt{{MO}^{2}-{AO}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
|MQ|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
（1）當動點M到圓的切線長與|MQ|的比值為1時，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$=$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得：4x-5=0，
此時點M的軌跡是一條與x軸垂直的直線；
（1）當動點M到圓的切線長與|MQ|的比值為2時，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$=2$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得3x²+3y²-16x+17=0，
此時點M的軌跡是一個圓．

點評 本小題考查曲線與方程的關系，軌跡的概念等解析幾何的基本思想以及綜合運用知識的能力．直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．