已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且b2+c2=a2+bc,求:(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值;(2)若a=2,求△ABC周長的最大值.
【答案】
分析:(1)根據(jù)余弦定理表示出cosA,把已知得等式變形后代入即可求出cosA的值,由A的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù),然后把所求的式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡,將sinA的值代入即可求出值;
(2)由a=2和sinA的值,根據(jù)正弦定理表示出b和c,代入三角形的周長a+b+c中,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長的最大值.
解答:解:(1)∵b
2+c
2=a
2+bc,∴a
2=b
2+c
2-bc,
結(jié)合余弦定理知cosA=
=
=
,
又A∈(0,π),∴A=
,
∴2sinBcosC-sin(B-C)=sinBcosC+cosBsinC
=sin(B+C)=sin[π-A]=sinA=
;
(2)由a=2,結(jié)合正弦定理得:
=
=
=
=
,
∴b=
sinB,c=
sinC,
則a+b+c=2+
sinB+
sinC
=2+
sinB+
sin(
-B)
=2+2
sinB+2cosB=2+4sin(B+
),
可知周長的最大值為6.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡求值,靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值,掌握正弦函數(shù)的值域,是一道中檔題.